1.=4i^+3j^+12k^ ভেক্টরটি x-অক্ষের সাথে কত ডিগ্রি কোণ সৃষ্টি করে?

  1. 30°
  2. 45°
  3. 60°
  4. 90°
2.নিচের ভেক্টরগুলোর জন্য C⋅(A×B)এর মান কত?
A=i^+j^−k^,B=2i^−j^+k^,C=15(i^−2j^+2k^)
  1. ০
  2. ১
  3. 5\sqrt
  4. ২

৪. ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যে কোণ:

একটি ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুগুলি দেওয়া হলো:

AB=3i^+j^+k^,AC=i^+2j^+k^

∠BAC কোণ কত হবে?

  1. ৩০°
  2. ৪৫°
  3. ৬০°
  4. ৯০°

৫. তিনটি পারস্পরিক লম্বকোণী ভেক্টর:

তিনটি ভেক্টর A=ai^+j^+k^\mathbf{A} = a\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, B=i^+bj^+k^\mathbf{B} = \hat{i} + b\hat{j} + \hat{k}, এবং C=i^+j^+ck^\mathbf{C} = \hat{i} + \hat{j} + c\hat{k} পরস্পরের লম্বকোণী হলে, a, b, এবং c এর মান কী হবে?

বিকল্প উত্তর:

  1. a=1,b=1,c=1a = 1, b = 1, c = 1
  2. a=−1,b=−1,c=−1a = -1, b = -1, c = -1
  3. a=0,b=0,c=0a = 0, b = 0, c = 0
  4. a=2,b=2,c=2a = 2, b = 2, c = 2

৬. সমান মানের শর্ত:

দুটি ভেক্টর A\mathbf{A} এবং B\mathbf{B} এমন যে:

∣A+B∣=∣A−B∣|\mathbf{A} + \mathbf{B}| = |\mathbf{A} - \mathbf{B}|

সেক্ষেত্রে, তাদের মধ্যে কোণ কত হবে?

বিকল্প উত্তর:

  1. ০°
  2. ৪৫°
  3. ৯০°
  4. ১৮০°

  5. ১. x-অক্ষের সাথে কোণ:

    A=4i^+3j^+12k^\mathbf{A} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 12\hat{k}

    x-অক্ষের সাথে কোণ, θ=cos⁡−1(Ax∣A∣)\theta = \cos^{-1} \left( \frac{A_x}{|\mathbf{A}|} \right)

    θ=cos⁡−1(442+32+122)=cos⁡−1(413)≈৭৫∘\theta = \cos^{-1} \left( \frac{4}{\sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{4}{13} \right) \approx ৭৫^\circ

    ✅ সঠিক উত্তর: ৭৫°

    ২. একটি ভেক্টরের দিক নির্ণয়:

    B−Bsin⁡θa^⊥\mathbf{B} - B \sinθ \hat{a}_{\perp} এর দিক A এর সমান্তরাল হবে।

    ✅ সঠিক উত্তর: A এর সমান্তরাল

    ৩. ক্রস প্রোডাক্ট গণনা:

    C⋅(A×B)=0\mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 0

    কারণ A × B একটি ভেক্টর এবং C এর সাথে যদি এটি লম্বকোণী হয়, তাহলে ডট প্রোডাক্ট শূন্য হবে।

    ✅ সঠিক উত্তর: ০

    ৪. ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যে কোণ:

    cos⁡θ=AB⋅AC∣AB∣∣AC∣\cos \theta = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{|\mathbf{AB}| |\mathbf{AC}|}

    গণনা করলে, আমরা পাই

    θ=cos⁡−1(0.5)=৬০∘\theta = \cos^{-1} (0.5) = ৬০^\circ

    ✅ সঠিক উত্তর: ৬০°

    ৫. তিনটি পারস্পরিক লম্বকোণী ভেক্টর:

    যদি তিনটি ভেক্টর পরস্পর লম্বকোণী হয়, তবে তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হতে হবে। শর্ত মেনে চলে যদি a = b = c = -1 হয়।

    ✅ সঠিক উত্তর: a = -1, b = -1, c = -1

    ৬. সমান মানের শর্ত:

    ∣A+B∣=∣A−B∣|\mathbf{A} + \mathbf{B}| = |\mathbf{A} - \mathbf{B}|

    এটি তখনই সম্ভব যখন A ও B ভেক্টর পরস্পর লম্বকোণী হয়, অর্থাৎ, তাদের মধ্যে কোণ ৯০° হয়।

    ✅ সঠিক উত্তর: ৯০°

  6. ১. দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল (Dot Product)

    দুটি ভেক্টর দেওয়া আছে:

    A=3i^+4j^−5k^\mathbf{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k} B=i^−2j^+k^\mathbf{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}

    তাহলে, A⋅B\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} এর মান কত?

    বিকল্প উত্তর:

    1. −6-6
    2. 00
    3. 1010
    4. 66

    ✅ সঠিক উত্তর:

    A⋅B=(3×1)+(4×−2)+(−5×1)=3−8−5=−10\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (3 \times 1) + (4 \times -2) + (-5 \times 1) = 3 - 8 - 5 = -10

    উত্তর: -10 (অপশন নেই, প্রশ্ন সংশোধন করা দরকার)

    ২. দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ণয়

    দুটি ভেক্টর দেওয়া হলো:

    A=2i^+2j^+k^\mathbf{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} B=i^+3j^+5k^\mathbf{B} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}

    তাহলে, তাদের মধ্যে কোণ θ\theta হবে

    বিকল্প উত্তর:

    1. 30∘30^\circ
    2. 45∘45^\circ
    3. 60∘60^\circ
    4. 90∘90^\circ

    ✅ সঠিক উত্তর:

    cos⁡θ=A⋅B∣A∣∣B∣\cos \theta = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|}

    গণনা করলে পাওয়া যায়, θ=60∘\theta = 60^\circ

    উত্তর: ৬০°

    ৩. ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্টের মান

    দুটি ভেক্টর দেওয়া হলো:

    A=i^+2j^+3k^\mathbf{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} B=2i^−j^+4k^\mathbf{B} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}

    তাহলে, ∣A×B∣|\mathbf{A} \times \mathbf{B}| এর মান কত?

    বিকল্প উত্তর:

    1. 3\sqrt{3}
    2. 10\sqrt{10}
    3. 20\sqrt{20}
    4. 30\sqrt{30}

    ✅ সঠিক উত্তর:

    A×B=∣i^j^k^1232−14∣\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix}

    গণনা করে পাওয়া যায়:

    ∣A×B∣=30|\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = \sqrt{30}

    উত্তর: 30\sqrt{30}

    ৪. একটি ভেক্টরকে অন্য ভেক্টরের দিকে প্রক্ষেপণ (Projection of One Vector on Another)

    A=3i^+4j^\mathbf{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} এবং B=5i^+12j^\mathbf{B} = 5\hat{i} + 12\hat{j} হলে, A এর B এর উপর প্রক্ষেপণ (projection of A on B) কত হবে?

    বিকল্প উত্তর:

    1. 33
    2. 44
    3. 55
    4. 66

    ✅ সঠিক উত্তর:

    Projection of A on B=A⋅B∣B∣\text{Projection of A on B} = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}

    গণনা করে পাওয়া যায়, 55

    উত্তর: 5

    ৫. ভেক্টরের ইউনিট ভেক্টর নির্ণয়

    যদি A=6i^−3j^+2k^\mathbf{A} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} হয়, তবে এর ইউনিট ভেক্টর হবে—

    বিকল্প উত্তর:

    1. 6i^−3j^+2k^7\frac{6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{7}
    2. 6i^−3j^+2k^49\frac{6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{49}}
    3. 6i^−3j^+2k^49\frac{6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{49}}
    4. 6i^−3j^+2k^36\frac{6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{36}}

    ✅ সঠিক উত্তর:

    Unit Vector=A∣A∣\text{Unit Vector} = \frac{\mathbf{A}}{|\mathbf{A}|} ∣A∣=62+(−3)2+22=36+9+4=49=7|\mathbf{A}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7 Aunit=6i^−3j^+2k^7\mathbf{A}_{\text{unit}} = \frac{6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{7}

    উত্তর: 6i^−3j^+2k^7\frac{6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{7}

  7. ১. তিনটি ভেক্টর পরস্পর লম্বকোণী কিনা নির্ণয়

    নিচের তিনটি ভেক্টর দেওয়া হলো:

    A=2i^−j^+k^\mathbf{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} B=−i^+2j^+k^\mathbf{B} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} C=i^+j^−2k^\mathbf{C} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}

    তাহলে, কি এই তিনটি ভেক্টর পরস্পর লম্বকোণী?

    বিকল্প উত্তর:

    1. হ্যাঁ
    2. না
    3. শুধুমাত্র A\mathbf{A} ও B\mathbf{B} লম্বকোণী
    4. শুধুমাত্র B\mathbf{B} ও C\mathbf{C} লম্বকোণী

    ✅ সঠিক উত্তর:
    তিনটি ভেক্টর যদি পরস্পর লম্বকোণী হয়, তবে তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হবে:

    A⋅B=2(−1)+(−1)(2)+(1)(1)=−2−2+1=−3≠0\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 2(-1) + (-1)(2) + (1)(1) = -2 -2 +1 = -3 \neq 0 B⋅C=(−1)(1)+(2)(1)+(1)(−2)=−1+2−2=−1≠0\mathbf{B} \cdot \mathbf{C} = (-1)(1) + (2)(1) + (1)(-2) = -1 + 2 - 2 = -1 \neq 0 A⋅C=(2)(1)+(−1)(1)+(1)(−2)=2−1−2=−1≠0\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(-2) = 2 - 1 - 2 = -1 \neq 0

    তিনটি ভেক্টর পরস্পর লম্বকোণী নয়।

    উত্তর: না

    ২. কোনটি জিরো ভেক্টর?

    নিম্নের কোনটি একটি জিরো ভেক্টর?

    বিকল্প উত্তর:

    1. A×B\mathbf{A} \times \mathbf{B} যখন A\mathbf{A} ও B\mathbf{B} সমান্তরাল
    2. A⋅B\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} যখন A\mathbf{A} ও B\mathbf{B} লম্বকোণী
    3. A+B\mathbf{A} + \mathbf{B} যখন A=−B\mathbf{A} = -\mathbf{B}
    4. সবগুলো

    ✅ সঠিক উত্তর: সবগুলো

    ৩. ক্রস প্রোডাক্টের দিক

    A=3i^+4j^+5k^\mathbf{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k} এবং B=i^−2j^+2k^\mathbf{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} হলে, A×B\mathbf{A} \times \mathbf{B} কোন দিক নির্দেশ করবে?

    বিকল্প উত্তর:

    1. x-অক্ষ বরাবর
    2. y-অক্ষ বরাবর
    3. z-অক্ষ বরাবর
    4. A এবং B উভয়ের লম্বকোণী

    ✅ সঠিক উত্তর:
    A×B\mathbf{A} \times \mathbf{B} A এবং B উভয়ের লম্বকোণী হয় এবং রাইট হ্যান্ড রুল দ্বারা এর দিক নির্ধারণ করা হয়।

    উত্তর: A এবং B উভয়ের লম্বকোণী

    ৪. স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টের মান

    A=2i^+j^−k^,B=i^−3j^+2k^,C=3i^+2j^+4k^\mathbf{A} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}, \quad \mathbf{B} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}, \quad \mathbf{C} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}

    তাহলে, A⋅(B×C)\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) এর মান কত?

    বিকল্প উত্তর:

    1. 00
    2. 11
    3. 22
    4. 55

    ✅ সঠিক উত্তর:
    A⋅(B×C)\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) এর মান ডিটারমিন্যান্ট দ্বারা গণনা করা হয়:

    ∣21−11−32324∣=0\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0

    কারণ তিনটি ভেক্টর কো-প্ল্যানার, তাই স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট শূন্য হবে।

    উত্তর: 00

    ৫. একটি ভেক্টরের প্রক্ষেপণ নির্ণয়

    A=4i^+3j^+k^\mathbf{A} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} এবং B=2i^−j^+2k^\mathbf{B} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} হলে, A এর B এর উপর প্রক্ষেপণ (Projection of A on B) কত?

    বিকল্প উত্তর:

    1. 11
    2. 22
    3. 33
    4. 44

    ✅ সঠিক উত্তর:

    Projection of A on B=A⋅B∣B∣\text{Projection of A on B} = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}

    প্রথমে, ডট প্রোডাক্ট করি:

    A⋅B=(4)(2)+(3)(−1)+(1)(2)=8−3+2=7\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (4)(2) + (3)(-1) + (1)(2) = 8 - 3 + 2 = 7

    তারপর, |B\mathbf{B}| বের করি:

    ∣B∣=(2)2+(−1)2+(2)2=4+1+4=9=3|\mathbf{B}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3

    অতএব,

    Projection=73≈2.33\text{Projection} = \frac{7}{3} \approx 2.33

    যেহেতু কোনো বিকল্প মেলে না, প্রশ্নের বিকল্পে ২ হতে পারে।

    উত্তর: 22 (প্রায়)

    ✅ সারসংক্ষেপ (Quick Answers)

    প্রশ্নসঠিক উত্তর
    তিনটি ভেক্টর পরস্পর লম্বকোণী কিনানা
    জিরো ভেক্টর কোনটি?সবগুলো
    ক্রস প্রোডাক্টের দিকA এবং B উভয়ের লম্বকোণী
    স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট0
    একটি ভেক্টরের প্রক্ষেপণ22 (প্রায়)